Kukely Márton érettségi után MÁV-ösztöndíjjal Moszkvában, a Vasútmérnöki Egyetem Biztosítóberendezési és Távközlési Karán, 1980-ban szerzett diplomát. Friss diplomájával mérnök-gyakornokként Záhonyban kezdett dolgozni a MÁV-nál, majd különböző munkakörök betöltését követően, 1986. március elsejétől a budapesti MÁV Vezérigazgatóság záhonyi csoportjánál volt a szovjet–magyar–jugoszláv áruforgalom referense. Ezután a forgalmi főosztály csoportvezetője, majd rövid kitérő következett: 1992–93-ban a Gazszojuzimport logisztikai menedzsere lett. Később a MÁV értékesítési és árufuvarozási főosztályvezetője, utóbb szakigazgatója, 1997. augusztus elsejétől vállalkozó vasúti vezérigazgató-helyettessé nevezték ki.
Kukely Mártont Katona Kálmán közlekedési, hírközlési és vízügyi miniszter Sipos István, a MÁV vezérigazgatójának halála napján, 1999. január 6-án kinevezte a vasúttársaság megbízott vezérigazgatójává. A határozatlan időre szóló vezérigazgatói megbízását 1999. május 26-én vette át.
Vezérigazgatóságának első évében zajlott a Budapest–Szob fővonal felújítása, zöld utat kapott a magyar–szlovén vasútvonal megépítése. Átadták a Rákospalota-Újpest–Veresegyház–Vácrátót vasút 31 km-es villamosítását, továbbá megkezdődött a záhonyi átrakókörzet rekonstrukciójának első üte­me. 2000–2001-ben, a folytatódó beruházások keretében átadták a villamosított Székesfehérvár–Celldömölk vonalszakaszt, 2000. július 14-én felavatták az azóta is sikeresen működő Magyar Vasúttörténeti Parkot. A következő év jelentős eseménye volt a magyar–szlovén vasútvonal megnyitása az új, 1400 m hosszú völgyhíddal. Átadták a forgalomnak a Rákos–Újszász–Szolnok vonal Rákoshegy és Maglód közötti, átépített szakaszát. Fontos előrelépés volt a vontatás területén az új, nagy teljesítményű Taurus villamos mozdonyok megjelenése a MÁV hálózatán. Vezérigazgatói munkája során számottevően javult a MÁV pénzügyi helyzete. Kukely Márton 2004-től az MMV magánvasút vezérigazgatója, 2006-tól a CER vezérigazgató-helyettese, majd vezérigazgatója, 2015-től a CER Cargo Holding SE vezérigazgatója volt.
2019. augusztus 30-án, méltósággal viselt súlyos betegség után, életének 63. évében hunyt el.