Bevezetés

A hézagnélküli vágány állékonysága alapvető vasútbiztonsági kérdés és számos pályaszerkezeti követelményt kell teljesíteni a kivetődés jelenségének elkerülése érdekében. A sínszálak hőmérsékletének nyári, tartósan erős napsütéses napokon bekövetkező jelentős emelkedése bennük nagy nyomóerő-növekedést okoz, amely az íves vágány erőteljes deformációját képes okozni. Ezzel az erővel szemben megbízható nagyságú ellenállásra van szükség az állékonysághoz, amit a vágány mint keretszerkezet és az ágyazat oldalirányú ellenállása képes biztosítani. Az ellenállásoknak a hatásokkal szembeni megfelelőségét számítással lehet igazolni. Elsősorban német nyelvű szakanyagokban az úgynevezett Meier-féle képletek a használatosak, létezik azonban egy kevésbé alkalmazott eljárás is, amelynek megalkotója Nemesdy Ervin, egykori műegyetemi professzor volt. Joggal vethető fel a kérdés, miben hasonlít, illetve különbözik a két módszer egymástól, és vajon az eredményeik – kvázi azonos kiinduló feltételek mellett – mennyire térnek el egymástól.
A hézagnélküli vágány állékonyságának kutatása már a múlt század harmincas éveiben megkezdődött, de igazán lendületet az 1960-as években elvégzett pályakísérletek eredményei nyomán kapott. Ezért az előzmények tárgyalása során vissza kell nyúlni több évtizedes forrásokhoz is, ismertetésüknél megtartva az eredeti, a mai mértékegységrendszertől eltérő dimenziókat, közölve az átváltott értékeket is.
A vasúti vágány rugalmasan ágyazott és oldalirányban is rugalmasan megtámasztott síkbeli tartószerkezet. A záróhegesztés elkészítésekor érvényes sínhőmérséklet emelkedésével egyre nagyobb nyomóerő alakul ki a sínszálakban, amelynek számítási kifejezése a következő:

Fhő = a sínszálban keletkező hőmérsékleti nyomóerő [N],
α = a sínacél lineáris hőtágulási tényezője [1,2×10-5 1/°C],
E = a sínacél rugalmassági modulusa [2,1×105 N/mm2],
A = a sínszál keresztmetszeti területe [mm2],
ΔT = a sín hőmérsékletének változása [°C].
A semleges hőmérséklet alsó határán (+15 °C-on) történő záróhegesztés és maximális +60 °C-os sínhőmérséklet esetén a nyomóerő nagysága egy 60E1 rendszerű sínszálban 870 kN. A vágányban ennek az erőnek kétszerese, azaz 1740 kN ébred.
Minél kisebb a vágány ívsugara, annál nagyobb a hőerő (aktív erő) ívből kifelé mutató komponense, amellyel szemben gátlóhatások dolgoznak, a vágány alakváltozással szembeni ellenállása és az ágyazat oldalirányú ellenállása. Amikor a passzív hatások nem elégséges nagyságúak, akkor bekövetkezik a kinyomódás, a kivetődés, amelynek során a vágány szabálytalan alakot vesz fel, megnövekszik a sínszálak hossza és bennük lecsökken a nyomóerő értéke. A kialakuló szabálytalan vágánygeometria kisiklást okozhat.
A vágány alakváltozással szembeni ellenállását az elméletek kétféleképpen veszik figyelembe. Az első esetben, a Meier-féle módszerben, a vágány egészének hajlítással szembeni ellenállását a helyettesítő tehetetlenségi (inercia-) nyomaték jellemzi, amelynek nagysága, függetlenül a vágány állapotától, azonos értékűnek veendő fel. A másik, a Nemesdy-féle módszer a sínszálak hajlítási ellenállásával és a sínleerősítéseknél jelentkező elforgási ellenállással számol.
A cikk a vasúti járművel nem terhelt vágány eseteire vonatkozik.

A Meier-féle számítási módszer

Dr. Meier vezette le energiamódszerrel 1937-ben a kritikus fekvéshiba húrmagasság-számítását egyenes és íves vágány esetére. A következőkben a módszer legfontosabb lépései olvashatók az [1] irodalomból átvéve. A nyomott vágányszakasz deformálódott rajza az 1. ábrán látható.
A deformációs vonal egyenlete:

A külső erők munkája (WF) hozza létre a tartóban felgyülemlő energiát (WE+Wq), így

Az összes munka:

ahol
f = fekvéshiba húrmagassága [mm],
x = húrhossz ≈ ℓ=ívhossz [mm],
q = oldalirányú ágyazat-ellenállás [N/mm],
Fhő = hőerő [N],
R = ívsugár [mm],
E = sínacél rugalmassági modulusa [N/mm2],
I = vágánymező tehetetlenségi nyomatéka [mm4].
A valóságos erőket helyettesítő és az x=ℓ/2 pontban a vágánytengelyre merőleges erők munkája:

A valóságos erőket helyettesítő, az x=ℓ/2 pontban a vágánytengelyre merőlegesen ható erő:

Kritikus esetben:

A kapott számítási kifejezések íves vágány esetére a következőkben részletezettek.

Kritikus hőmérséklet-emelkedés

ahol    
I* = a vágány oldalirányú helyettesítő inercianyomatéka [m4],
A* = a két sínszál együttes keresztmetszeti területe [m2].

Kritikus nyomóerő a vágányban

Kritikus fekvéshiba-amplitúdó

Kivetődés hossza

Az egyes számítási kifejezések bemenő adatainak áttekintésekor megállapítható, hogy egyetlen paraméter értéke az, amelynek nagysága bizonytalanságokkal lehet terhes, ez pedig a vágány oldalirányú helyettesítő inerciája. Ezért a következőkben ezt részletesen szükséges tárgyalni. (Az oldalirányú ágyazat-ellenállás értéke nagyszámú pályakísérlet eredményei alapján megbízhatóan áll rendelkezésre.)

A vágány oldalirányú inerciája

Egy homogén anyagú, kéttámaszú, középen működő, függőleges koncentrált erővel hajlított gerenda alakváltozása a következő módon számítható.

y = alakváltozás a tartó középső keresztmetszetében [mm],
F = terhelőerő [N],
ℓ = támaszköz [mm],
E = a gerenda anyagának rugalmassági modulusa [N/mm2],
Ix = a keresztmetszet x (vízszintes) tengelyre vett inercia nyomatéka [mm4].
Az E×I× szorzat a gerenda merevségét jellemző érték.
A fentiek analógiájára a vágánynak a kivetődési síkjában értelmezendő, tehát oldalirányú úgynevezett keretmerevségét az E×I* kifejezés adja meg, ahol E a sínacél rugalmassági modulusa, I* pedig az úgynevezett helyettesítő oldalirányú inercia (tehetetlenségi nyomaték). A helyettesítő inercia adott hosszúságú vágánymezőre a 2. ábrán látható elrendezéssel határozható meg, ahol a jelölések:
F = terhelő vízszintes erő,
ℓ = támaszköz,
y = alakváltozás a mező közepén.
A hajlítás elvégezhető a mező fekvő helyzetében, amikor is – a keresztaljak súrlódását kiküszöbölendő – görgőkre kell az aljakat helyezni.
A helyettesítő inercia (Ih) számítása:
A [2] irodalom, egyéb vizsgálati adatok ismertetése nélkül, a következő értékeket közli S49 rendszerű sínekkel és GEO sínleerősítéssel szerelt vágánymező inerciájára:
– előírásszerűen meghúzott csavarok: 1350 cm4,
– gyengén meghúzott csavarok: 638 cm4.
A vágánymező azonban nem homogén gerenda. Különböző rugalmassági modulusú elemekből csavarkötésekkel létrehozott szerkezet. A hajlítás során a keresztaljak és a sínszálak eredeti kölcsönös helyzete, legyőzve az ellenállásokat, elfordulások által módosul. Osztott sínleerősítések esetén, szélső helyzetben a síntalp az alátétlemez bordái között befeszülhet. Ezek a jelenségek hatással vannak a vágánymező keretmerevségére.

Ugyanakkor a valóság azért sem azonos a 2. ábrán látható elrendezéssel, mert a vágányt nem koncentrált erő támadja, hanem a hőmérsékleti nyomóerőből származó, kifelé mutató, folytonos eloszlású erő. Az egykor létezett Vasúti Tudományos Kutató Intézet 1958-tól kezdve több éven át végzett világviszonylatban is jelentős pályakísérleteket a hézagnélküli vágány hőfeszültség okozta jelenségeinek megismerésére [3–5]. A keretmerevségi vizsgálatokat 48,3 rendszerű sínekkel, GEO sínleerősítésekkel szerelt, 16 méter hosszú, fa-, illetve vasbeton aljas, 60, 65, illetve 77 cm-es aljtávolságú, 40/65-ös szemnagyságú zúzott kővel ágyazott vágánymezővel hajtották végre, szoros és laza síntalpleszorítással. Az ágyazatról felemelt, terhelt vágánymező támaszköze ℓ=13,5 m volt, a terhelés két módon hatott:
– egy koncentrált terhelés mezőközépen,
– nyolc koncentrált erő, egymástól ℓ/9 m egyenletes távolságban (3. ábra) [3].

A [3] irodalom a következő megállapításokat és eredményeket ismerteti a vágánymező oldalirányú inerciájának alakulásával kapcsolatban:
– Mindkét terhelési mód esetében (egy, illetve nyolc erő) szoros lekötés esetén a mezőközépen mérhető (tehát maximális) kihajlás értékével fordítottan arányos az inercia értéke, azaz az alakváltozás növekedésével párhuzamosan az folyamatosan csökken.

– Mindkét terhelési mód esetében laza lekötés esetén az inercia nagysága egy minimumértékig csökken, majd amikor a síntalp alátétlemez-bordák közé befeszülése (az egyes sínleerősítéseknél eltérő erősséggel) működni kezd, növekszik.
– A 77 cm aljkiosztású vágány keretmerevsége szoros sínleerősítések esetében csak 4%-kal kisebb, mint a 60 cm aljkiosztásúé, míg laza lefogásoknál ez a különbség 20%-ra növekszik.
A [3] irodalom a nyolc erővel történt terhelés laza sínleerősítések esetében nyert eredményeit javasolta használatra, mondván, ezek megfelelő biztonsággal nyert értékek. Azonban nem adja meg, hogy a kihajlás nagyságának függvényében bekövetkező inerciaváltozást hogyan kell kezelni.
A kísérletek folytatásáról szóló [4] irodalom beszámol az 1961. évi eredményekről, amelyek közül egy diagramsorozatot mutat a 4. ábra.

A nyolc erővel és az egy koncentrált erővel elvégzett kísérletek eredményeiből levont fontos megállapítás volt, hogy azonos anyagú aljakkal készített, eltérő aljkiosztású vágánymezők esetében 2 cm-nél nagyobb kihajlásnál mindössze 5-10% közötti a megállapított inerciák különbsége. (A 4. ábrán látható az az érdekes eredmény is, hogy a vasbeton aljas mező keretmerevsége jelentősen – például 5 cm kihajlásnál 50%-kal – a faaljas mezőé alatt marad a vizsgált kihajlási tartományban.)
Vasbetonaljas vágánymezőre vonatkozó értékeket az 1. táblázatban közöl [4].
Összefoglalóan elmondható, hogy a vágánymező oldalirányú inerciájának értékét erősen befolyásolják a vizsgálati támaszköz nagysága mellett azok a tényezők, amelyek a VTKI kísérleti eredményei alapján megállapíthatók:
– a vizsgálat során alkalmazott terhelés módja,
– a vizsgálat során kialakuló deformáció (kihajlás) mértéke,
– a sínleerősítések állapota (szorossága),
viszont az eltérő aljkiosztás hatása elhanyagolható.

Eltérő szerkezetű vágánymezők keretmerevségének meghatározására végeztek terhelési vizsgálatokat a Zürichi Egyetemen (ETH Zürich) [6]. A vágánymező 12 m hosszú volt, a keresztaljak alátámasztásánál a súrlódást minimalizálták. Négypontos hajlítást (két aktív és két támaszerővel) hajtottak végre, a támaszköz 10,2 m, a szimmetrikusan elhelyezett két aktív erő (maximum 10–10 kN) támadáspontjának távolsága 4,2 m volt. A terheléseket 100 mm maximális kihajlásig végezték, 30 mm-nél tehermentesítést alkalmaztak.   Megállapították, hogy a vágánymező többszörös fel-le terhelése során a mezőközépen bekövetkező azonos alakváltozásnál mért elmozdulásértékek csekély eltérései oda vezethetnek, hogy a hajlító és a nyíró alakváltozás aránya megváltozik.
A vizsgálatok során tapasztaltak szerint a vágánymező nem lineárisan rugalmas alakváltozási viselkedést mutatott. A rugalmas alakváltozások mellett – a felépítményváltozattól függően – a deformáció mintegy fele képlékeny volt, amit a sínleerősítéseknél kialakuló elcsúszások és elcsavarodások okoztak. Tehát nem volt kezdeti lineárisan rugalmas alakváltozási szakasz, amint az például az acél esetében ismert, s amely alapján a hajlítási és nyírási merevség egyszerűen kiszámítható lett volna. A különböző paraméterek merevségre gyakorolt hatásának összehasonlításakor a tiszta merevségi értékek nehezen értékelhetők a hajlítási és a nyírási merevség közötti kapcsolat alapján.
Végül elméleti megfontolások alapján felállított összefüggést használva az alábbi merevségi értékeket határozták meg 0,6 m távolságban lévő B91 vasbeton aljakkal, Skl 1 leszorítókengyelekkel szerelt vágánymezőre, ahol a csavarmeghúzási nyomaték 250 Nm volt:
– 46E1 rendszerű sínszálakkal 2302 kNm2,
– 54E2 rendszerű sínszálakkal 2206 kNm2.    
Érdekes a végeredmény, mert az 54E2 profil körülbelül 17%-kal nagyobb keresztmetszetű, mint a 46E1 profil, míg a tehetetlenségi nyomatéka az alakváltozás irányában körülbelül 15%-kal nagyobb. Ez utóbbi adat miatt az lenne várható, hogy az 54E2 sínekkel szerelt vágánymező merevebb a hajlítóvizsgálatok során, azonban ennek éppen az ellenkezője igaz.
A megállapított E×I hajlítómerevségből helyettesítő inerciaértéket (I*) úgy lehet számítani, ha azt elosztjuk az acél E rugalmassági modulusával. A valóságban azonban ez nem pontos eljárás, mert a vágányt alkotó különböző anyagok kombinációja minden bizonnyal más modulusértéket eredményezne [6].
A manapság sokat idézett [7] irodalom 60E1 sínszálakkal, B70w vasbeton aljakkal, közvetlen sínleerősítésekkel szerelt vágányra I*=2,200×107 mm4 értéket ad meg, azonban a meghatározás módja (mérés, számítás) nem ismert. A [8] kutatási szakcikkben leírtak szerint ez a helyettesítő inerciaérték nem lehet helyes. „Ugyanis a két 60E1 rendszerű sínszál függőleges tengelyre vett inercianyomatéka 2Iy=1,026×107 mm4, ami azt jelenti, hogy a vágány megadott oldalirányú helyettesítő inerciája 114%-kal nagyobb, mint a csak síneket figyelembe vevő érték (2,2×107/1,026×107=2,144). A vágánykeretnek köszönhető óriási merevségnövekedés nem áll összhangban azzal a ténnyel, hogy a vágány hosszirányú ágyazat-ellenállása gyakorlatilag megegyezik az oldalirányú ellenállással. Ebből az következik, hogy az oldalirányú hajlítási merevség nem járul hozzá jelentősen a vágány oldalirányú ellenállásához, amit szinte teljes mértékben az ágyazat biztosít. Valójában az Amerikai Vasútmérnöki és Karbantartási Társulás (AREMA) szerint a hosszirányú terhelést a hézagnélküli sínek hőereje és az ágyazat belső súrlódásából adódó ellenállás eredője adja. Dogneton (Dr. Ing. Pierre Dogneton, Technical Counselor, Office for Research and Experiments [ORE]) kimutatta, hogy 23 tényező befolyásolja az oldalirányú vágányellenállást és megemlítette, ebben az aljtávolságnak alig vagy egyáltalán nincsen szerepe. Zarembski (Allan Zarembski, Professor of Practice, University of Delaware) szintén összeállított egy listát az oldalirányú elmozdulással szembeni ellenállást befolyásoló 23 tényezőből és ebből a listából az aljtávolság kizárásra került. Logikusan a vágányrács nem befolyásolhatja jelentősen az ágyazati ellenállást, ha azt az aljak távolsága nem befolyásolja. A vágányszerkezet 5-10%-kal járul hozzá az oldalirányú ellenálláshoz.”
A fenti megállapításhoz hasonló már jóval korábban, a [9] irodalomban is megjelent: „…a helyettesítő merevség értéke … a két sínszál saját (E×I)=E×2Isín merevsége sokszorosának adódott. Így a kivetődési számítások irreálisan magas értéket adtak a biztonság rovására. Kiderült, hogy az állandó nagyságú helyettesítő tehetetlenségi nyomaték vagy merevség feltételezése hibás, mivel a vágány nem egyetlen tömör gerenda.”
Az eddigiekben leírtak alapján kijelenthető, hogy egységesített vizsgálati paraméterek hiányában meglehetősen bizonytalan az állékonysági számításokhoz a szakirodalomban ismertetett értékek közül a korrekt oldalirányú inercia nagyságának megválaszthatósága.

A Nemesdy-féle számítási módszer

Dr. Nemesdy Ervin az 1960-as évek elején publikálta vágánystabilitási számítását. Elmélete szerint az oldalirányú kivetődéssel szemben három hatás dolgozik:
– a két sínszál vízszintes síkú saját merevsége E×I=E×2×Isín y,
– a sínleerősítések Mo elforgás-ellenállásából származó keretmerevségi hatás,
– az ágyazat q oldalirányú ellenállása.
A két végén befogott egyenes rúd (5. ábra) [9] esetében az Euler-féle kihajlási elmélet alapján a kritikus nyomóerő nagysága:

A sínszelvény merevségét és az elforgás-ellenállási állandóval jellemzett keretmerevségi hatást figyelembe vevő rugalmas vonal elemi differenciálegyenlete segítségével a kihajlást okozó nyomó­erő értéke:

ahol:
r = elforgás-ellenállási állandó [kNm/rad],
k = aljtávolság [m].
Az ágyazat oldalellenállásának értelmezése két végén befogott rúdnál a 6. ábra szerinti, a fekvéshibaalak közelítő parabolákból van összetéve [9]. Az ábrán láthatóan a hőerő kifelé mutató   R = 2×Fq×sinα eredőjével a Q=3/4×ℓ×q ágyazati oldalellenállás tart egyensúlyt.
Egyenes vágánygeometria esetén az A jelű, ℓ és f paraméterekkel jellemzett fekvéshibánál a kivetődést okozó kritikus nyomóerő képlete:

Az íves vágány esetére vonatkozó képletek az egyenes vágányra kidolgozott számítási kifejezések átalakításával jöttek létre. R sugarú íves geometria esetén a q ágyazati oldalellenállásnak már csak egy q–F/R nagyságú maradék része hatékony a stabilitás megőrzése érdekében. Ezért a 15. képlet így módosul:

Az íves vasúti vágány esetén a legkisebb kritikus erő értéke így számítható:

A gyakorlatban nincsen olyan vágány, amelynek sínszálai tökéletes geometriával feküdnének. Az ívekben veszélyes A jelű, félhullám alakú irányhibát számításainkban az R sugarú vágánytengelyvonalra adjuk meg, ahogyan az a 7. ábrán látható. A hullámhossz nagysága ℓ, a kezdeti hiba húrmagassága f. Amennyiben adott körülmények között az irányhiba amplitúdója eléri a kritikus értékét (fkr), és a sínszálakban keletkező nyomóerő az ellenállásoknál nagyobbra nő, akkor bekövetkezik a kivetődés.

A 17. egyenletben az Fkr,minR mindkét oldalon szerepel. Rendezéssel, majd az

helyettesítések alkalmazásával az alábbi másodfokú egyenletre jutunk, amely már könnyen megoldható:

A [9] szerint a kritikus erő kifejezése íves vágányra így is felírható:

Kritikus hőmérséklet-emelkedés

ahol:
A* = a két sínszál együttes keresztmetszeti területe [m2].

Kritikus fekvéshiba-amplitúdó

A fekvéshiba-amplitúdó nagysága csak akkor okoz kivetődést, ha a hiba hossza éppen ℓ = ℓkr×R.

Kritikus fekvéshibahossz

A sínleerősítések elforgás-ellenállási nyomatéka

A Nemesdy-féle elmélet paraméterei közül az úgynevezett elforgás-ellenállási állandó érdemel külön figyelmet. A sínleerősítéseknél fellépő elforgás-ellenállásból a vágányban keretmerevségi hatás adódik. Szabályos fekvésű, íves vágányban a keresztaljak sugárirányban állnak, felettük a sínszálak lekötési pontban értelmezett érintője a keresztaljak hossztengelyére merőleges. A vágány alakváltozása (oldalirányú helyzetének változása) csak úgy lehetséges, hogy az aljak feletti, eredeti aljtengely–síntengely pillanatnyi érintője által bezárt szög egy ε nagyságú elforgási szögértékkel megváltozik.

A 8. ábra az elforgás-ellenállási nyomaték – szögelfordulás (Mo–ε) mérési diagram – idealizált jelleggörbéjét mutatja osztott sínleerősítés esetére, korábbi irodalmak [2, 9] alapján. Induláskor a síntalp a bordák között középállásban van, tehát mindkét oldalán van hézag. Az első szakaszban az elforgást előidéző nyomaték legyőzi a vele szemben ébredő ellenállási nyomatékot. A második szakasz közel egyensúlyi helyzetet jelent, majd a harmadik szakaszban már a bordáknak feszül a síntalp. Az első és a második szakaszban létrejövő elfordulás nagyságát a síntalpszélesség és a bordatávolság is befolyásolja, a harmadik szakaszban az alkatrészek deformációja, sérülése következik be. 

      
Az Mo nagyságú elforgás-ellenállási nyomaték számítási kifejezése:

ahol:
r = elforgás-ellenállási állandó [kNm/rad],
ε = elforgás szöge [rad].
A 8. ábra esetében az r értékének megállapítására az első és második szakasz határpontjához húzott érintő alkalmas. Hangsúlyozni kell, hogy az r tényező dimenziója kNm/rad, mert az origó és a görbe adott pontjához húzott egyenes meredekségét jelenti, szemben az egyes irodalmakban közöltekkel (például [9]-ben Mpm, [5]-ben tm az r tényező mértékegysége). Ilyen kiértékelésre mutat példát a 9. ábra az [5] irodalomból idézve. (A meredekségértékek tm/rad mértékegységekre vannak átírva. 100 kgm = 981 Nm; 1 tm = 9,81 kNm.) A GEO lekötésre meghatározott érték (16 tm/rad) 157 kNm/rad-nak felel meg.   

Az elforgás-ellenállási állandó értéke meghatározható az MSZ EN13146-2 szabvány [10] alapján végzett mérés eredménygörbéjéből. A szabvány 1,5° elforgási szögnagyságig hajtatja végre a kísérletet és az 1° szögelfordulást előidéző nyomaték nagyságát kell ellenállási nyomatékértékként eredményül megadni. Az 1,5° elfordulás 0,02617 radiánnak felel meg. Ez olyan kis érték, hogy szabályos körülmények között nem fordulhat elő osztott sínleerősítésben a síntalp bordáknak ütközése. Az elforgatást az óramutató járásával megegyezően, majd ellenkező irányban is végre kell hajtani. Az eredménydiagramból megfelelő hajlású húr meredekségével adható meg az r elforgás-ellenállási állandó értéke.
A TU München kutatási jelentése [11] a W14 K-900 típusú közvetlen rugalmas sínleerősítésre állapított meg elforgás-ellenállási nyomatékértékeket. A szerkezet részei: 60E2 rendszerű sín, B91 vasbeton keresztalj, Skl 14 rugalmas kengyel, Wfp 14 K 900-12 nyomtávtartó szögelem, Ss0 síncsavar (meghúzási nyomatéka 250 Nm volt), Uls 7 alátétgyűrű, Sdü 9 műanyag betét betonaljban. A síntalpleszorító erő nagysága 16,8 kN. A mérési diagramokat a 10. ábra mutatja. Az ábrában – utólag berajzolva – szerepelnek a nagyon jó közelítést jelentő húrok is, amelyek segítségével a két elforgatásból az r-értékek megállapíthatók.

Az ellenállási nyomatékérték az első elfordítás esetében 0,52 kNm, a visszafordításkor pedig 1,08 kNm volt. A számított r elforgás-ellenállási állandók:
– az első elfordítás esetében 1 kNm/1,5°=1 kNm/0,026176 rad=38,2 kNm/rad;
– a visszafordításkor pedig 1,75 kNm/1,5°=1,7 kNm/0,02617 rad=66,9 kNm/rad.
Különböző sínleerősítésekre a 2. és 3. táblázat foglalja össze az elforgási diagramokból megállapított ellenállási állandó értékeit vasbeton aljas vágányszerkezetek esetében.   
A GEO rendszerű sínleerősítés jelentősen nagyobb elforgás-ellenállási állandója nem meglepő, hiszen esetében a síntalpleszorító erő erősen meghúzott csavarok esetén elérheti a 40 kN-t, míg ez az érték a mai rugalmas sínleerősítések esetében általában 12 és 18 kN között van.
A fenti példák alapján nyilvánvaló, hogy a vágányállékonysági számításokhoz megfelelő r értékének megválasztása körültekintést igényel, hiszen nagyságát befolyásolja a sínleerősítés kialakítása (közvetlen vagy osztott), a sínleszorító erő és a síntalp alatti síkon érvényes súrlódási tényező nagysága.

Összehasonlító számítások

A korábban leírtakat is figyelembe véve, a két elmélet ismertetett számítási kifejezéseivel kapott eredmények összehasonlítása elvégezhető. A kiinduló adatok az alábbiak:
– vágány helyettesítő oldalirányú inercia:
   - Meier-féle elméletben: I*=2,2000×10-5 m4,
   - Nemesdy-féle elméletben: 2Iy=1,0246×10-5 m4,
– a két sínszál együttes keresztmetszeti területe: 1,538×10-2 m2,
– hőtágulási együttható: α=1,2×10-5×1/°C,
– sínacél rugalmassági modulusa: E=2,1×108×kN/m2,
– oldalirányú ágyazat-ellenállás: jól fenntartott ágyazat esetén q=10 kN/m, rosszabb ágyazatállapot esetén q=6 kN/m,
– ívsugár: R=200 … 2000 m,
– kezdeti fekvéshiba-amplitúdó: f=5–10–15–20–25–30 mm,
– elforgás-ellenállási állandó: r=40 kNm/rad, a korábbiakban ismertetett, közvetlen rugalmas sínleerősítésekre vonatkozó értékek alapján felvéve,
– aljtávolság: k=0,6 m.

Az ágyazat oldalirányú ellenállása alapvető fontosságú a hézag­nélküli vágány kivetődéssel szembeni állékonysága szempontjából. Nagysága függ a keresztalj típusától, méreteitől és tömegétől, a zúzottkő szemmegoszlásától és állapotától, az ágyazatváll méretétől, az ágyazati anyag tömörítettségétől. Mivel ennek a cikknek nem célja a különböző állapotú ágyazat hatásának részletes vizsgálata, ezért csak a jó minőségű zúzottkőből megfelelő tömörítéssel kialakított ágyazatra, vasbeton aljas vágányban vonatkozó q=10 kN/m érték, valamint a rosszabb állapotot jellemző q=6 kN/m érték szerepelnek a számításokban.

Hazai körülmények között a sín maximális hőmérsékletét +60 °C-ra vehetjük fel, azonban a gyakorlatban ritkán +62…+63 °C-os sínhőmérsékletet is mérnek. Amennyiben a jelenlegi előírások szerinti alsó semleges hőmérsékleti határon (+15 °C) történik a hézagnélküli vágány kialakítása, úgy 50 °C-nál kisebb hőmérséklet-emelkedés esetén a jól fenntartott vágányban nem alakul ki kivetődés.

A számítások végrehajtásánál az egyes kifejezésekben a közös számértékek dimenziója és az értékek nagysága természetesen egymásnak megfelelő volt. Az eredmények közlésénél az volt az alapvető törekvés, hogy a nagyságok könnyen érzékelhetők legyenek. Ezért az ívsugarak méterben, a fekvéshibák milliméterben, a helyettesítő inercia m4 mértékegységgel, az erők pedig kN-ban szerepelnek.
A következőkben az ívsugár és a kiindulási fekvéshiba nagyságának függvényében a 11–13. ábrák diagramjai mutatják be az egyes kivetődési jellemzők számított értékeit q=10 kN/m ágyazati oldalellenállás esetében. A jelmagyarázatokban az M betű a Meier-féle, az N betű a Nemesdy-féle elmélettel történt számításra utal. Egyes ívsugarakhoz tartozó értékeket közölnek a 4–6. táblázatok.

11. ábra és 4. táblázat: R=200 m sugár és f=5 mm fekvéshiba-amplitúdó esetén a Meier-féle kritikus nyomóerő 1,02-szor nagyobb, mint a Nemesdy-féle érték. Az arány R=1000 m sugár és f=30 mm fekvéshiba esetén már 1,31.
12. ábra és 5. táblázat: A kétféle elmélettel számított értékek között az arányok a kritikus nyomóerőnél érvényesekkel megegyezők.

13. ábra és 6. táblázat: R=200 m sugár és f=5 mm fekvéshiba-amplitúdó esetén a Meier-féle kritikus hullámhossz 1,38-szor nagyobb, mint a Nemesdy-féle érték. Az arány R=2000 m sugár és f=30 mm fekvéshiba esetén 1,22-ra csökken.
A 7. táblázatban a két elmélettel a q=6 kN/m ágyazati oldalellenállás esetével számított kritikus nyomóerőértékek vannak összefoglalva.
R=200 m sugár és f=5 mm fekvéshiba-amplitúdó esetén a Meier-féle kritikus nyomóerő 1,01-szor nagyobb, mint a Nemesdy-féle érték. Az arány R=1000 m sugár és f=30 mm fekvéshiba esetén már 1,27.
A fentiek szerint esetenként jelentős értékeltérések adódnak az egyes számított kritikus jellemzők egymásnak megfelelő értékei között. Ez arra vezethető vissza, hogy a keretmerevség hatása a vágány oldalirányú helyettesítő inerciája által hangsúlyosabb figyelembevételt jelent a Meier-féle számításokban, mint a Nemesdy-féle módszerben az elforgás-ellenállásé.
Nézzük meg, hogy a Meier-féle elméletben a keretmerevségi hatás hogyan növeli meg a kritikus nyomóerő értékét. A 8. táblázatban a 60-as rendszerű vágánymezőre a [7] irodalom szerinti inerciával (I*=2,2×10-5 m4), illetve a két sínszál inerciaösszegével (2E.Iy=1,0246×10-5 m4) számított értékek láthatók. Az inerciák és így a keretmerevségi hatások aránya 2,15. A többi adat azonos a korábban közöltekkel.
A 8. táblázati értékek azt mutatják, hogy míg R=200 m sugarú ív oszlopában a kétféle helyettesítő inerciával számított kritikus nyomóerők aránya nem haladja meg az 1,12 értéket, addig az ívsugár és a kezdeti fekvéshiba-amplitúdó értékének növekedésével egyre nagyobb lesz a hányados és R=1000 m ívsugár és f=30 mm fekvéshiba-amplitúdó értéknél már 1,36-ra nő.

A következő lépésben „emeljük ki” a Meier-féle és a Nemesdy-féle módszer kifejezéseiből a keretmerevség hatását és nézzük meg, ebben az esetben milyen lesz a kritikus értékek viszonya. Tehát mindkét elmélet szerinti számításokban csak a két sínszál y tengelyre vett inerciájának összegével dolgozunk, amely 2Iy=1,0246×10-5 m4 nagyságú, a Nemesdy-féle kifejezésekből pedig kimarad a 2r/k tag. A többi adat azonos a közölt kiinduló értékekkel.
A kétféle elmélet alapján, a keretmerevséget nem figyelembe vevő módon, végzett számítások q=10 kN/m, illetve q=6 kN/m ágyazati oldalellenállás esetében tökéletesen megegyező értékeket adtak a kritikus nyomóerőre a paraméterek vizsgált értéktartományában (9. táblázat). Azonos a helyzet a kritikus hőmérséklet-emelkedés értékei tekintetében is, míg a kivetődési hullámhossz esetében minimálisak az eltérések.
A 14. ábra R=300 m sugarú ív, r=40 kNm/rad és q=10 kN/m értékek esetére mutatja a kritikus nyomóerő alakulását a fekvéshiba-hullámhossz függvényében, különböző fekvéshiba-amplitúdókra, a Nemesdy-féle elmélet szerint.
A Nemesdy-féle elmélet 19. képlete lehetővé teszi, hogy megvizsgáljuk, az egyes tagok, azaz a sínmerevség, az elforgás-ellenállás és az ágyazat-ellenállás milyen arányban járulnak hozzá a kritikus erő értékéhez, illetve mit okoz az elforgás-ellenállási állandó értékének változtatása. A példában R=300 m-es ív, f=20 mm nagyságú fekvéshiba szerepel és egyes hullámhosszértékekhez történik az eredmények megadása (10. táblázat). A kiinduló adatok (sínrendszer, ágyazat oldalirányú ellenállása, aljtávolság) nem változtak.

A 10. táblázat értékei alapján megállapítható, hogy közvetlen rugalmas sínleerősítések alkalmazása esetén a Nemesdy-féle elméletben a sínelfordulási állandónak van a legkisebb szerepe a kritikus erő nagyságának alakításában. A két sínszál merevsége felépítményi rendszerenként állandó érték, de hatásuk változó jelentőségű. Igen fontos a zúzottkő ágyazat mérete, fenntartottságának minősége, hogy az oldalirányú ellenállás mindig megfelelő nagyságú legyen.      

Összefoglaló megállapítások

A hézagnélküli vágány állékonysága alapvető vasútbiztonsági kérdés. A kivetődés elleni biztonság számítására két jól ismert módszer létezik, az úgynevezett Meier-féle elmélet képletei, illetve a hazai fejlesztésű eljárás, amely Nemesdy Ervin, egykori műegyetemi professzor nevéhez fűződik. A cikkben nagy vonalakban közöltük mindkét módszer elméleti alapjait. A kritikus jellemzők (kivetődést okozó nyomóerő és hőmérséklet-változás) számításánál a két elmélet abban különbözik, hogy hogyan veszi figyelembe a vágánynak a sínszálak és keresztaljak összekapcsolásából származó keretmerevségi hatását. A helyettesítő vágányinercia, illetve a sínleerősítések elforgás-ellenállási állandójának értéke számos körülménytől függ és a rendelkezésre álló szakirodalmi adatok általában nem közlik mindazon paraméterek értékeit, amelyek befolyásolják a jellemzők nagyságát. Ezért az értékek megválasztásánál nagy körültekintéssel kell eljárni.    
A cikkben ismertetett eredmények és szakmai megfontolások alapján az a javaslat fogalmazható meg, hogy vágányállékonysági számításokhoz célszerűbb a Nemesdy-féle elméletet alkalmazni, a következők okán:
– A vágány szerkezeti kialakításától függő r elforgás-ellenállási állandó laboratóriumi kísérlettel könnyen meghatározható, sőt a sínleerősítés minősítő vizsgálatánál annak értéke az MSZ EN13146-2 szabvány [10] alapján végzett mérés eredménygörbéjéből egyszerűen megállapítható.
– A Meier-féle elméletben használatos helyettesítő vágányinercia értékének megállapítására nincsen egységesen elfogadott nemzetközi módszer, így a rendelkezésre álló irodalmi értékek bizonytalanságot jelentenek.
– Azonos felépítményszerkezeti kialakításra a Nemesdy-féle számítással alacsonyabb kritikus nyomóerő- és hőmérsékletváltozás-értékek adódnak, mint a Meier-féle elmélettel, így az a biztonság javára ad eltérést.