1. Bevezetés

A zúzottkő ágyazatot érő hatásokra bekövetkező változásokat halmazban a szemszerkezet és a halmazt alkotó szemcsék szemalakváltozásával minősíthetjük. Ezek a tulajdonságváltozások a teljes halmazra vonatkoznak, és nem veszik figyelembe a halmazt alkotó szemcsék közötti kölcsönhatást. A diszkrét elemes számítógépes szimuláció lehetővé teszi, hogy a halmazban a szemcsék viselkedését virtuálisan követni tudjuk. A halmaz egészének vizsgálatát nagyban befolyásolja az egyes szemcsék viselkedése. A diszkrét elemek módszerének segítségével lehetőség nyílik a szemalak figyelembevételére és a modell fizikai paramétereinek meghatározására. A viselkedés megítélésénél szükséges a modellben a szemalak szimulálása. A számítógépes programozás fejlődése megteremtette annak lehetőségét, hogy a vizsgált halmaz szemcséit már nem gömb- vagy több gömbből összeállított elem („clump”), ha­nem poliéder szemcsealakot generáló algoritmus használatával modellezhetjük.
Az ágyazatot alkotó zúzottköveket alakjuk alapján két osztályba soroljuk: zömök (kubikus) és lemezes szemalakú szemcsék­re. A zömök szemeknek nagyobb a te­her­bí­rásuk, viszont a lemezes szemek fontos szerepet játszanak az ágyazatban a kiékelődéshatás létrehozása miatt. Ez azt eredményezi, hogy a zömök és lemezes szemek számának egymáshoz viszonyítva létezik egy optimális aránya, amely mellett a halmaz terhelhetősége a legnagyobb. Ennek az aránynak a becslése eddig tapasztalati úton történt, ezért a pontosabb arány megállapítása nagy gyakorlati haszonnal járna. A folyamatos igénybevételek hatására bekövetkezik a kövek törése, változik a zömök és lemezes kövek aránya, ami hatással van a teherbírásra. Szintén fontos kérdés, hogy a terhelhetőség változása miatt mikor kell karbantartást végezni, illetve az is kérdés, hogy karbantartás közben hogyan viselkedik a kőhalmaz.
Jelentős nehézséget okoz, hogy az üzemelő pályaszakasz ágyazatából nem, vagy csak nagyon korlátozott mértékben lehet mintát venni (különösen a keresztalj alatti térrészből, a kőgerendából), hiszen ez vágányzárral jár. A fővonalakon a minta­vételezés pedig kivitelezhetetlen, mivel nem lehet korlátozni a forgalmat. A szemcseaprózódás mértékéről így nincs információnk, ami miatt a karbantartás szükségességét csak becsülni tudjuk.
Az előző problémákra kínál megoldást a zúzottkő ágyazat viselkedésének számító­gépes modellezése és vizsgálata. A szimuláció – a méréssel ellentétben – bármikor elvégezhető, a napszaktól és időjárási körülményektől független eredményt ad, és nem jelent problémát a mintavétel. Segítségével ellenőrzött körülmények között vizsgálható a kívánt hatás eredménye.
A valóságot jól közelítő szimulációs modell létrehozása összetett feladat, melynek első lépése a módszer kiválasztása. Bizonyos esetekben lehetséges az ágyazatot kontinuumként modellezni, és a széles körben elterjedt végeselem módszert használni, azonban ez a megközelítés számos kérdésre nem ad választ. Ahhoz, hogy reális modellt lehessen létrehozni, szükséges az ágyazatot alkotó köveket (a kontinuummegközelítés helyett) külön-külön modellezni, és figyelmet fordítani a törésre is. Erre ad lehetőséget a diszkrét elemes módszer.

2. A diszkrét elemek módszere

A diszkrét elemes módszer szemcsés vagy szemcsékkel modellezhető anyagok és folyamatok szimulációjára szolgál. Szemcsés anyag például a homok, talaj vagy esetünkben a vasúti ágyazati zúzottkő. A szemcsékkel történő modellezésnél lehetőség nyílik a kopás vagy a repedésterjedés, a törés részletes vizsgálatára. A diszkrét elemes modellezés olyan numerikus módszer, melyben a szimulálni kívánt halmaz különálló elemekből épül fel, amelyek önálló elmozdulásokkal és elmozdulási szabadságfokokkal rendelkeznek. Az elemek között kapcsolatok jöhetnek létre és szűnhetnek meg [1].
A definícióból következik, hogy a diszkrét elemes módszerrel modellezett halmaz viselkedését alapvetően az elemek és a köztük létrejövő kapcsolatok tulajdonságai határozzák meg. Összefoglaló néven: diszkrét elemes anyagmodell. Az anyagmodell beállítását az elemszintű, mikromechanikai paraméterekkel lehet elvégezni. Ezek eredményezik a teljes halmaz mérhető mechanikai tulajdonságait, a makromechanikai paramétereket.
A mikromechanikai paraméterek sok esetben nem egyeznek a halmazt alkotó szemcsék tulajdonságaival annak ellenére, hogy a halmazszintű viselkedés reális (pl. homok modellezésénél ajánlott a homokszemeknél jóval nagyobb alkotóelemeket használni a számítás gyorsítására). Jelenleg a mikro- és makromechanikai tulajdonságok között csak igen korlátozott mértékben állnak rendelkezésre összefüggések, egy anyagmodell létrehozásához ezért elengedhetetlen annak kalibrálása.
A kalibrálás során célszerűen megválasztott méréseket végzünk, és az eredményt összevetjük a viselkedés számítógépes szimulációjával. Az anyagmodell paramétereit addig változtatjuk, amíg az kellő pontossággal reprodukálja a mérést. Esetünkben a kalibráló vizsgálathoz az ún. Hummel-berendezés [2] segítségével végzett statikus tömörítéses vizsgálat szolgált.

3. A diszkrét elemes anyagmodell

A vasúti kövek modellezéséhez a Yade programba [3] beépített, Jan Eliáš által létrehozott anyagmodellt használjuk [4]. A modell sajátossága, hogy a széles körben alkalmazott gömbelemek (1a ábra) helyett konvex poliéderelemeket (1b ábra) használ, és képes ezek törésének szimulálására is.

Az elemek anyaga tökéletesen merev. A deformálhatóság a kapcsolatok definíciójában jelenik meg. A részecskék közt normál erő és súrlódás lép fel. Ismert, hogy az elemek anyagjellemzőin kívül jelentős hatása van a szemcsék alakjának is. A gömbökből, „clump”-okból (gömbökből felépített törhetetlen elemek) álló halmazoknál lehetetelen figyelembe venni az élek hatását, így a poliéderalak reálisabb modellt eredményez. A törés figyelembevételének lehetősége további előnyöket rejt.

3.1.  Poliéderek létrehozása Voronoi-módszerrel

Mivel a vasúti felépítmény zúzottkő ágyazatában található összes követ lehetetlen lenne feldolgozni és külön-külön modellezni, az elemek geometriájának létrehozásához meg kell elégedni adott számú alakvariációval, vagy véletlenszerűen kell létrehozni azokat. Ez nagyban meggyorsítja a modell felépítését.
A véletlenszerű megoldás a Voronoi-módszer [5], amelyet 2D-ben a 2. ábra mutat. Először középről kiindulva, véletlenszerűen pontokat generál meghatározott távolságra egymástól, majd megállapítja a pontok közé húzott egyenesek oldalfelező merőlegeseit.

Az oldalfelező merőlegesek fogják alkotni a poligonok oldalait, metszéspontjaik pedig a pontjait. Az így kapott poligonok geometriai tulajdonságait a program megvizsgálja, és a megfelelőek közül véletlenszerűen kiemel kellő számút. A kiemelt poligonokat ezután nyújtja a megadott oldalarányok szerint (pl. kétszeres nyújtás az egyik tengely irányában, ily módon hosszúkás alakú követ kapunk). Végül véletlenszerűen elforgatja a köveket, így érhető el a véletlenszerű eloszlás. A módszer természetesen átvihető 3D-be is.

3.2. A szemcsék közötti normál erő

A mechanikai modellben az elemek teljesen merevek. A valós szemcsék összenyomódásából származó erőt a modellben az elemek közt fellépő normál erő szimulálja. Ez a normál erő akkor ébred, ha két elem (P_A és P_B) egymásba hatol (3. ábra).

A normál erő nagysága a két poliéder metszeteként kialakuló közös térfogat (P_I) nagyságával arányos, amit az alábbi egyenlet fejez ki:

ahol:
P_n = normál erő [N]
V₁ = közös térfogat nagysága [m³]
k_n = anyagparaméter, egy arányossági tényező, neve: normál térfogati merevség [N/m³]
 Az erő támadáspontja a közös térfogat tömegközéppontja. A poliéderek metszésvonala egy térbeli, szakaszonként lineáris görbe. Erre a görbére a legkisebb négyzetek módszerével egy sík kerül illesztésre. Ez annak a síknak a megkeresését jelenti, amelynek (négyzetes) távolsága a görbétől a legkisebb. A normál erő iránya (n [–]) erre a síkra lesz merőleges, és az elemből kifele mutat. Így a normálerő-vektor (P_n [N]):

 
3.3. Szemcsék közt ható nyíróerő

A nyíróerőt egy növekményes módszerrel tudjuk kiszámolni. Az előző időlépésbeli nyíróerőből indul ki. Az algoritmus a merevtest-szerű mozgásokat, és a normálvektor irányában bekövetkezett változásokat levonva, a poliéderek egymáshoz képesti mozgásából és forgásából egy Δu [m] elmozdulásvektort számol ki. Az adott időlépésben bekövetkezett nyíróerő-változás (ΔF_s [N]):

ahol ks [N/m] az úgynevezett nyíró merevség.
A modell a Coulomb súrlódási modellt használja. Ezért:

ahol φ [rad] az úgynevezett belső súrlódási tényező. Ha ez a feltétel nem teljesül, F_s nagysága lecsökken a megadott határra.

3.4. A szemcse széttörésének modellezése

A modellben a kő minden esetben négy részre törik, két egymásra merőleges sík mentén. A törési síkok irányát a főfeszültségek jelölik ki a 4. ábrán látható módon. Egy követ vizsgálva ez természetesen a valóságban nem igaz, de nem is cél, hogy valóságos eredményt kapjunk, hiszen a lényeg, hogy a halmaznak makromechanikai szinten legyen helyes a viselkedése.
A törés bekövetkezéséhez meg kell állapítani a feszültségi állapotot és a hozzá tartozó kritériumot. A feszültségi állapot a kőben fellépő Huber–Mises–Hencky-féle (HMH) redukált feszültség, míg a kritérium az ún. méretfüggő szilárdság. Ha a redukált feszültség nagyobb, mint a méretfüggő szilárdság, bekövetkezik a törés. A kisebb méretű kövek szilárdsága nagyobb, így az egyre kisebb kövek egyre nehezebben törnek.

Az egy elemen belül fellépő redukált feszültség megállapítása több lépésben történik. Az elem felületén fellépő c számú érintkezésből származó erővektorokból (F), az erők támadáspontjának helyvektorából (I) és az elem térfogatából (V) határozható meg a feszültségi tenzor (σ). Mivel 3D-s a modell, az i és j komponensek 1–3-ig futnak.

A feszültségi tenzor szimmetrikussá tétele után meghatározzuk a főfeszültségeket (σ_I , σ_II , σ_III ) a sajátérték-sajátvektor módszerrel. A főfeszültségekből számol­ható a Huber–Mises–Hencky-féle redukált feszültség (σe):

A kövek méretét az egyenértékű sugár (req) jellemzi. Ez a poliéderrel megegyező térfogatú (V) gömb sugara:

Ha a kő szilárdságát (f₀) az egyenértékű sugárral elosztjuk, a méretfüggő szilárdságot (f_t) kapjuk:

4. A diszkrét elemes modell előállítása a kalibrálási vizsgálathoz

4.1. Hummel-berendezésben végzett kalibráló vizsgálat

Az anyagmodell kalibrálására a Hummel-vizsgálatnál [2] alkalmazott berendezést (5. és 6. ábra) használjuk. A Hummel-vizsgálat a szemcsés anyagok statikus teherbírásának minősítésére szolgál. A mérés során a halmazos építési kőanyagokat statikus nyomás hatására szétmorzsoljuk, és a szemmegoszlás változásával értékeljük a szétmorzsolódás mértékét [2]. Mivel az NZ 31,5/50 mm szemnagyságú ágyazati kőanyagok a Hummel-berendezésben túl nagyok, ezért a mérések kalibrálásánál az NZ 22/32 mm szemnagyságú zúzottkő halmazt használtuk.

A vizsgálat menete a következő:

• a vizsgálati minta szemnagyságának beállítása ellenőrző szitálással;
• a minta mozsárba helyezése és lezárása nyomófedéllel; 
• terhelés a meghatározott maximális nyomóerőig, majd leterhelés;
• a terhelt minta szemszerkezetének ellenőrző szitálása az aprózódás mértékének meghatározására.

A statikus tömörítéses vizsgálatoknál mértük a vizsgált halmaz összenyomódását terheletlen, 400 kN és 600 kN-os terhelésnél.
A kalibrálás vizsgálataihoz a következő andezit kőanyagok álltak rendelkezésre: NZ 22/32 mm szemnagyságú termékek a komlói, nógrádkövesdi, recski, szobi, tállyai kőbányákból. Az összenyomódási vizsgálatokat a terméken és a termékekből leválasztott kubikus és lemezes szemalakú részmintákon végeztük el.

4.2. A vizsgálati geometria kialakítása

A geometria létrehozása során először a Hummel-berendezés vastag falú hengerét modelleztük háromszög alakú felülettípusú elemekkel (7. ábra).

Az optimális számítási sebesség és eredmény elérésére a hengert egy szabályos 10 szög alapú hasáb közelíti. A megadott méretű és oldalarányú (kubikus/lemezes) poliéderelemek generálása az előre megadott térfogaton belül történik. Ahhoz, hogy a kövekből egy tömör halmaz jöjjön létre, ún. gravitációs ülepítést hajtottunk végre (8. ábra). A felesleges, azaz a Hummel-berendezés magasságát meghaladó pozíciójú elemeket töröltük (9. ábra).

4.3. A vizsgált halmaz terhelése

A változó nagyságú terhelést a záró elem fejti ki. Ez is a kövekkel megegyező típusú poliéderelem, azonban alakja a véletlenszerű létrehozás helyett előre megadott, a hasábba pontosan illeszkedő forma. A terhelés lefolyása elmozdulásvezérelt, vagyis a fedél állandó sebességgel ereszkedik, miközben a kövekre nyomóerőt fejt ki. A mozgás addig folytatódik, amíg a nyomóerő nagysága eléri az előre beállított határértéket. Ekkor a mozgás iránya előjelet vált, elkezdődik leterhelés. A zérus nyomóerő elérésekor a program futása megáll, és az adatokat mentjük.

5. Zömök kövek terhelésének eredménye

A terhelés hatását először egy kővel vizsgáltuk. A mérési eredmények a szemmegoszlás alakulására vonatkoznak, azonban a folyamatról a legtöbb információt maga a záró elemre ható erő vizsgálata adja (10. ábra).

A folyamatban a következő szakaszok figyelhetők meg:

1. A terhelés kezdete: ekkor a záró elem még nem éri el a követ, így a rá ható reak­cióerők értéke nulla.
2. A záró elem eléri a követ: ahogy az érintkezés bekövetkezik, a reakcióerő értéke elkezd növekedni. Ez a kő töréséig folytatódik.
3. A kő törése: amikor a kőre ható eredő feszültség eléri a kő szilárdságát, a kő – az ismertetett módon – 4 részre törik. A törést követően a záró elemre ható reakcióerő lecsökken.
4. Kövek mozgása, csúszása: a 2. és 5. pont közti, első törés utáni szakasz három részre osztható. Az első részben a záró elem még nem éri el a köveket, így a reakcióerő értéke nulla. A kövek elérése után azok akadozó, csúszás jellegű mozgást mutatnak. A kövek helyzetének kialakulása után a reakcióerő (Fy) ismét monoton nőni kezd, egészen az újabb törésig.
5. Újabb törés: az erő ismét visszaesik. Mivel itt már folyamatos az érintkezés a kövek és a fedél között, értéke eléri a nullát.
6. A maximális erő elérése és leterhelés: ahogy a reakcióerő értéke eléri a felső határt (itt kb. 1,5 MN), a fedél mozgásának iránya megváltozik, és bekövetkezik leterhelés.

 Az egy kő terhelése során kapott eredmények a várakozásoknak megfeleltek, így következett a terhelés valós elemszámmal (11. ábra). Ennek terhelési diagramja a 12. ábrán látható.

A vizsgált diszkrét elemes anyagmodellben a poliéderelemek alakja kellő pontossággal közelíti a valós kövek alakját, a mechanikai modell a valódi hatásokkal és anyagparaméterekkel rokon tulajdonságokat mutat, a törési mechanizmus működik. A diszkrét elemes módszer és az anyagmodell alkalmas a kövek viselkedésének szimulálására.
A kialakított geometriában és beállí­tásokkal az ülepítés a kellő időn belül lejátszódik, a terhelés során a folyamat stabil. A záró elemre ható reakcióerő jellege a várakozásoknak megfelelően alakul. Töréskor időnként fellépnek pillanatnyi nagy erők (a 12. ábrán ez leterheléskor következett be), de ezek csak rövid időintervallumban állnak fenn, és a terhelés jellegét nem befolyásolják. A továbbiakban azonban kialakulásuk okát részletesen megvizsgáljuk.
A Hummel-berendezésben zajló vizsgálat modellje összevethető a mérési eredményekkel, így elvégezhető a diszkrét elemes anyagmodell paramétereinek kalibrálása.

6. Összefoglalás

A vasúti pályában a vasbeton keresztaljak alatti ágyazati kőgerenda viselkedésének modellezésére használhatjuk a diszkrét elemes számítógépes módszert. Halmazok viselkedésének modellezésére számos eljárás található a szakirodalomban, ám ezeknél az aprózódás figyelembevétele nem biztosított. A halmaz egészének vizsgálatát nagyban befolyásolja az egyes szemcsék viselkedése. A szemalak figyelembevételét és így a modell fizikai paramétereinek meghatározását a Voronoi-módszerrel lét­rehozott törhető poliéderelemekből álló halmazok segítségével végeztük el. Az anyagmodell statikus paramétereinek kalibrálásához Hummel-berendezésben végzett mérési adatok állnak rendelkezésre.
Létrehoztuk a vizsgálat modelljét, mellyel terhelési próbát végeztünk. Az eredmények jellege a vártnak megfelelő, így lehetséges a diszkrét elemes anyagmodell paramétereinek beállítása, majd azt felhasználva a vasúti ágyazati kőgerenda viselkedésének modellezése.
A diszkrét elemes módszer, és az általunk alkalmazott poliéder anyagmodell a vasúti ágyazati kőgerenda viselkedésének modellezésén túl számos lehetőséget rejt. Alkalmazásával módunk nyílik a bányászati, anyagmozgatási folyamatok szimulálására is. Az eljárás részletes információt szolgáltathat továbbá a kőhalmazokat kezelő gépészeti berendezések szerkezeteire gyakorolt hatásokról is.

7. Köszönetnyilvánítás

Az ágyazati kőanyagok modellezési lehetőségének vizsgálatát a MÁV Zrt. K+F Kutatásfejlesztési Innovációs Programja tette lehetővé, nevezetesen az „A vasúti zúzottkő ágyazati kőgerenda vizsgálata dinamikus és egyéb igénybevételek hatására” című (36895/2015/MÁV) K+F kutatás. A szerzők köszönettel tartoznak Emszt Gyula ny. tanszéki mérnök és Pálinkás Bálint laboráns (BME Geotechnika és Mérnökgeológia, korábban Építőanyagok és Mérnökgeológia Tanszék munkatársai) segítőkész, önzetlen munkájáért.